DECIMO AÑO E.G.B.

..........................................................................................

..........................................................................................

..

FACTORAR POR EL METODO DE RUFFINI

 

...........................................................................................................

FACTORAR

DEFINICIÓN

Hay números que se pueden factorear; es decir expresar como producto de números primos llamados factores, por ejemplo 15 = 3. 5 donde 3 y 5 son los divisores (factores) de 15, o bien se dice que 15 es divisible por 3 y por 5. Algo análogo ocurre con los polinomios. Algunos polinomios se pueden expresar como el producto de otros polinomios primos, por cada uno de los cuales es divisible. Definición: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de otros polinomios primos, llamados factores. Cuando un polinomio no se puede factorear se dice que el polinomio es irreducible o primo. Ejemplo: Factorizar el polinomio x² – 1 Þ x² – 1 = (x-1). (x+1) Polinomios primos.

CASO 1: FACTOR COMUN

Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor común por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

CASO 2: FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN

Regla: Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se lo saca a su vez como factor común, quedando el polinomio como un producto de factores comunes. 

CASO 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS

Regla: Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la diferencia de sus bases

CASO 4: SUMA Y RESTA DE CUBOS PERFECTOS

Regla:

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. 

CASO 5: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Regla: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, el primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos y el término del medio es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

CASO 6: COMBINACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS

Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencia de cuadrados si se agrupan convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos. 

Procedimiento:

• Una vez agrupados los términos se procede a resolver el grupo correspondiente al Trinomio Cuadrado Perfecto
• Se obtienen 2 términos elevados al cuadrado cada uno en una operación de diferencia.
• La diferencia de los cuadrados obtenidos se descompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados.
• Resolver los grupos obtenidos para agruparlos correctamente.

CASO 7: TRINOMIO CUADRADO INCOMPLETO

Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el termino que le haga falta.

1. Si un trinomio no es cuadrado perfecto, éste se puede convertir en T.C.P. sumando al segundo término un monomio cuadrado perfecto, para que el valor de la expresión original no se altere se resta el mismo término que se sumó. Se factoriza el T.C.P. y luego la diferencia de cuadrados.
2. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto:

•  Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos. 
•  Se encuentra el doble producto de estas raíces.
• Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos

    

CASO 8: TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c. 

Para factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c, encuentra dos enteros, a y b, cuyo producto sea c y cuya suma sea b.

1) Tomar en cuenta que esten ordenados de la forma x² + bx + c.

2) Se forma dos factores binomios ( ) ( ) 

3)   En cada paréntesis colocamos la raíz cuadrada del termino  x² ,( x    ) (x    )       

4) El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5)Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

6)Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el  segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el  segundo término del segundo factor binomio.

CASO 9: TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c. 

Nota: Para este caso hay 4 forma de resolver, usted tome la proceso adecuado .

Método de las aspa

Método multiplicando y dividiendo por el coeficiente del primer termino. 

CASO 10: SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS CON EXPONENTES PARES E IMPARES IGUALES

A) SUMA DE POTENCIAS DE EXPONENTE IMPAR

A.1) SUMA DE CUBOS

A.2) SUMA DE DOS POTENCIAS CUALESQUIERA CON EL MISMO EXPONENTE IMPAR

EJEMPLO:

B) DIFERENCIA DE POTENCIA DE EXPONENTE IMPAR

B.1) DIFERENCIA DE CUBOS

B.2) DIFERENCIA DE DOS POTENCIA CUALQUIERA CON EL MISMO EXPONENTE IMPAR

EJEMPLO:

C) SUMA DE POTENCIAS DE EXPONENTE PAR

La suma de potencia de exponente par es descomponible en factores (con coeficientes racionales) cuando los exponentes contienen el mismo factor impar, en cuyo caso dicha suma puede expresarse como suma de potencias con el mismo exponente impar y se aplica la suma de potencia de exponente impar.

Es decir: 

*Se puede descomponer en una suma de cubos o en una suma de potencias de exponente impar **

*Los signos en el segundo factor son alterados

EJEMPLOS

D) DIFERENCIA DE POTENCIAS DE EXPONENTE PAR

Se considera como diferencia de cuadrados, si se puede seguir factorizando se lo hará hasta terminar la factorización

EJEMPLO:

.............................................................................................

OBSERVE LOS SIGUIENTES VIDEOS PARA SU REFUERZO:

video1

video2

..........................................................................................................................................................

 PRODUCTOS NOTABLES 

1) CUADRADO DE UN BINOMIO

OBSERVAR EL SIGUIENTE VIDEO PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO:

CONOCIMIMIENTO BASICO

CUADRADO DE UN BINOMIO 

2) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA (a +  b )(a - b) 

Regla: 

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es equivalente a la diferencia entre el cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término

3) PRODUCTO DE LA FORMA  (x +  b )(x + b) 

Regla:

El producto de la forma (x 1 a)(x 1 b) es equivalente al cuadrado del término común, más el producto de dicho término por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no comunes.

4) CUBO DE UN BINOMIO

Regla:

El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, más (o menos) el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más (o menos) el cubo del segundo término.

iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cUBU-N3KJ30" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen>

5) CUADRADO DE UN POLINOMIO